Биомеханика: степени свободы

Всё, что вы хотели об этом знать, но не знали, что вы этого хотите.

При разговоре о биомеханике человеческого тела часто возникает понятие степеней свободы. Например, без этого трудно обойтись, говоря об устройстве и классификации суставов. При этом способ подсчёта этих степеней свободы и получающиеся числа часто остаются в некотором тумане. Эта статья для тех, кто чувствовал некоторую неудовлетворённость и отсутствие ясности после таких разговоров.

Сначала объясним на пальцах.

На пальцах

Если мы сравним паровоз, идущий по рельсам, и пароход, плывущий по морю, то чем отличается их движение? Паровоз может ехать только по рельсам. Он никуда с них не свернёт. Может только дать задний ход.

Пароход, в отличие от него, свободен плыть в любую сторону. Особенно если вокруг него бескрайний океан. Паровоз едет только по линии, а пароход — уже по плоскости. (Ну, ладно — по поверхности сферы. А точнее — геоида.) Пока скажем — нестрого и не очень правильно с точки зрения принятой терминологии, — что степень свободы парохода явно больше, чем паровоза.

А теперь возьмём самолёт. У него степень свободы оказывается ещё больше. Он уже может подняться в воздух. Он может попасть в любую точку пространства. Если, конечно, ему разрешит диспетчерская служба.

Это мы пока смотрели только на перемещения всех этих машин, или, как обычно говорят физики, — тел. Но ведь есть ещё и повороты. Паровоз не может ни задрать нос (подъём), ни наклониться в сторону (наклон), ни встать боком поперёк рельсов (поворот). Да, если рельсовый путь делает поворот, то паровоз повернёт вместе с рельсами. Но не сам. Поэтому такие повороты не считаются. Они не увеличивают степень свободы паровоза.

Пароход уже может сделать поворот. Пусть море пока будет спокойным и гладким как стекло, чтобы его легче было считать плоскостью. Тогда подъём пароходу недоступен так же как паровозу. Наклонить пароход набок, наверно, трудновато. Но если мы возьмём небольшую парусную яхту, то наклонить её, похоже, нет проблем. Судя по фотографиям, они большей частью так и плавают: перекосившись на сторону, с экипажем, висящим за бортом и чиркающим попами по гребням волн.

А вот самолёт может всё: и поднимать/опускать нос, и наклоняться в сторону, и поворачивать. Особенно если им управляет ас из отряда «Русские витязи». Они даже хвостом вперёд летают. И вверх тормашками. Что, правда, уже не увеличивает степень свободы самолёта — она и так максимальная.

Для контраста и для общности вообразим себе механизм с нулевой степенью свободы. Просто он никуда не едет: сломался. И с толкача завести не удалось.

Теперь постепенно начнём наводить научную строгость.

Одна степень свободы

Сразу же начнём выражаться более правильно. Будем говорить: «степени свободы», во множественном числе. Их может быть нуль, одна, две и так далее. Это просто число. Натуральное, т. е. целое положительное. Теперь нужно понять, как же их считают.

Вернёмся опять к началу — к паровозу. Пусть нам надо знать, как точно задать его положение на прямолинейном участке пути около станции. Свернуть он никуда не может. На другой путь тоже не может перейти: все стрелки мы предусмотрительно переключили так, чтобы он никуда не делся. Всё, что он может, это проехать несколько сотен метров в ту или обратную сторону. Как мы зададим его положение? Да просто расстоянием от какой-то точки на пути. Например, от точки, которая находится прямо напротив входа на станцию. Если паровоз проехал 100 метров от станции в сторону Санкт-Петербурга, то нам достаточно одного числа 100 м, чтобы знать, где он сейчас. А если он проехал те же 100 метров в сторону Москвы? Это же другой случай. Тогда мы напишем отрицательное число: –100 м. И снова будем точно знать, где паровоз.


Рис. 1. Паровоз на прямолинейном участке рельсов.

Итак, что мы получили? Чтобы в нашей ситуации знать точное расположение паровоза, нам нужно только одно число. Вот это и значит, что у паровоза — в рамках придуманной нами ситуации — одна степень свободы. А само это число будет называться координатой паровоза. Единственной координатой, которую нам нужно знать. Или которую нам нужно сказать машинисту, чтобы он знал, куда ему отогнать паровоз.

Пусть теперь у нас будет не прямой рельсовый путь, а извилистый. Что-нибудь это меняет? Ничего, пока паровоз никуда не может деться с этого пути. Мы точно так же можем мерить расстояние вдоль рельсов и точно так же можем задать положение паровоза одним числом — расстоянием от станции. У него по-прежнему остаётся только одна координата, только одна степень свободы.

Мы можем придумать для него и другую систему координат. Пусть это будет не настоящий паровоз, а игрушечный, который бегает по кругу. В этом случае мы по-прежнему можем в качестве координаты взять расстояние от игрушечной станции. 20 см — паровозик отъехал по часовой стрелке. –20 см — а это против часовой стрелки.


Рис. 2. Паровоз на рельсовом кругу. Координата — расстояние.

Но раз у нас круг — точнее, окружность, — то нам может показаться удобнее задавать положение паровозика углом. Отмечаем центр окружности , кладём туда транспортир и меряем угол между направлением на станцию — это будет нуль — и направлением на паровозик. Вот он проехал 90° по часовой стрелке — считаем, что его координата 90°. А вот он проехал 90° против часовой стрелки — тогда его координата будет –90°.


Рис. 3. Паровоз на рельсовом кругу. Координата — угол.

Но нам по-прежнему нужна только одна координата. Мы перешли от расстояний к углам, но ничего не изменилось. У паровозика по-прежнему одна степень свободы.

Сделаем даже так. Раз мы всё время поминаем часовую стрелку, то и воспользуемся часами. Положим их в центр круга и будем отмечать положение паровозика минутами на циферблате. Или часами — это менее точно, но удобно. Паровозик на 3 часа или на 9 часов — что может быть проще? И снова у него только одна координата. И одна степень свободы.


Рис. 4. Паровоз на рельсовом кругу. Координата — часы на циферблате.

Обобщим: если тело может двигаться только вдоль одной линии, сколь угодно кривой, оно имеет одну степень свободы. Но это, если мы говорим только о местонахождении тела и не учитываем его повороты, наклоны и подъёмы. Почему не учитываем? Может быть, нам это неважно. А может быть, оно и не может никуда деться, как паровоз на рельсах.

Две степени свободы

Так, а что у нас с пароходом, который плавает по морю? Сколько координат нам нужно в этом случае? Можно поглядеть на навигатор GPS и увидеть: две координаты. Долгота и широта. Как они там считаются, нам уже не важно. До тех пор, пока нас не интересует, куда пароход повернулся носом, а интересует только, в какой точке моря он находится, нам достаточно двух координат, которые нам выдаёт система GPS.


Рис. 5. Пароход в море. Координаты: широта и долгота.

Мы можем придумать и свою систему координат. Пусть, например, пароход плавает только в зоне видимости, а у нас есть компас и дальномер. Тогда мы в качестве координат можем взять направление на пароход (угол, определяемый по компасу) и расстояние до него (по дальномеру) от маяка, на башню которого мы взобрались и который назначили началом координат. В математике такую систему координат называют полярной.


Рис. 6. Пароход в полярных координатах.

И снова мы получаем две координаты. И две степени свободы для парохода. И снова замечание: мы при этом интересуемся только положением парохода в море. И не интересуемся, куда он при этом повернулся носом и как наклонился.

А если у нас не корабль по морю идёт, а пеший турист по горам? Неважно, у туриста тоже есть навигатор и он видит на нём те же две координаты. Т. е. поверхность не обязана быть плоской.

Обобщим: если тело может двигаться только по какой-то поверхности, пусть даже не плоской, оно имеет две степени свободы. Конечно, если мы не интересуемся его поворотами и наклонами.

Три степени свободы

Теперь уже несложно разобраться и с самолётом. Кроме двух координат, которые нам даст навигатор, нам понадобится ещё высота полёта, которую мы определим альтиметром. (Система GPS тоже вычисляет высоту, но довольно приблизительно.) Получаем три координаты и, соответственно, три степени свободы.

Для самолёта мы тоже можем ввести полярные координаты, только чуть сложнее. Нам понадобятся два угла: направление на самолёт по горизонтали (компас), направление на самолёт по вертикали (какой-то угломер), а также одно расстояние — от нас до самолёта (дальномер). И мы снова получим три координаты.


Рис. 7. Самолёт в полярных координатах.

Обобщим: если тело может двигаться куда угодно в трёхмерном пространстве, оно имеет три степени свободы. Опять же, если нас не интересует, как оно при этом повернулось и куда наклонилось.

А если интересует?

Подъём, наклон, поворот

Не будем уже возвращаться к паровозу, останемся с самолётом, рассмотрим самый сложный случай.

Если нам важно, не только, где самолёт сейчас летит, но и как он расположен в воздухе (я думаю, пилоту это важно), то нам оказывается мало уже имеющихся трёх координат.

Самолёт может задрать или опустить нос — будем это называть подъёмом. Может наклониться направо или налево — это так и назовём наклоном. И может повернуться направо или налево — это будет поворот. Получаем три угла — три новые координаты. Всего координат оказывается шесть. И шесть степеней свободы у нашего самолёта.


Рис. 8. Угловые координаты самолёта: подъём, наклон и поворот. На картинке с поворотом — вид сверху.

Обобщаем: тело в пространстве имеет шесть степеней свободы. И шесть координат: три пространственные и три угловые.

С пароходом и паровозом вы уже можете, наверно, разобраться сами.

Нужно, правда, сделать одно важное замечание.

Так три или шесть?

Получается, что количество степеней свободы какого-либо тела — это не его неизменное свойство. Это условная величина, которая зависит от того, что нам нужно знать, от условий нашей задачи. Вы сами видите: сначала мы насчитали у самолёта три степени свободы, а, изменив условия задачи, — все шесть. И тот, и другой ответ правильный. Но для разных вопросов.

Это вообще присуще математике. Чтобы считать, надо понимать, что и зачем считаешь. И ответы тогда будут разные. Поскольку разными будут способы счёта.

Вы вот, например, уверены, что дважды два всегда четыре? Умножим 2 метра — длину квадратной комнаты — на 2 метра — её же ширину. Получаем 4 квадратных метра — площадь комнаты. Любой риэлтор с этим согласится. Возьмём теперь 2 метра стальной трубы и умножим на другие 2 метра такой же трубы. И где вы видите получившиеся 4 квадратных метра? Их не существует в природе. Вычисление было явно бессмысленным.

Проверим сложение. Один плюс один будет два. Возьмём один литр спирта и один литр воды и смешаем. Химия уверяет нас, что мы никак не получим 2 литра разбавленного спирта. Свойства спирта и воды таковы, что объём (именно объём, а не масса!) раствора будет всегда меньше, чем сумма исходных объёмов. Аналогично, смешав стакан воды и стакан соли, мы не получим два стакана рассола. Химия обманет нас и на этот раз.

Даже арифметика может ошибаться. Если ей пользоваться бездумно.

Для коллекции — нуль степеней свободы

Нуль — это понятно без слов. Сломанный механизм, который никуда не едет и который с места не свернёшь. Не нужно никаких координат — и так ясно, где он стоит. Нуль степеней свободы.

Ближе к телу

Теперь будем двигаться в сторону биомеханики. Поговорим о механизмах.

Те механизмы, о которых мы до сих пор говорили — паровозы, самолёты — мы вообще-то рассматривали не как механизмы, а как просто тела. Нам неважно было их внутреннее устройство. Теперь займёмся устройством механизмов. Но гораздо более простых.

Будем рассматривать механические системы, состоящие из твёрдых, нерастяжимых и негнущихся звеньев, соединённых шарнирами. Шарниры для начала рассмотрим двух типов: цилиндрические и шаровые.

Цилиндрический шарнир, или шарнирная петля, это соединение двух звеньев, которое позволяет им вращаться вокруг общей оси. Или, если мы считаем одно звено неподвижно закреплённым — неподвижной опорой, — то этот шарнир позволяет второму звену вращаться вокруг оси шарнира.


Рис. 9. Цилиндрический шарнир: с двумя свободными звеньями и с одним закреплённым звеном — опорой.

Где мы можем найти такое соединение в человеческом теле? Это, например, локтевой сустав. Межфаланговые суставы пальцев. Коленный сустав, в первом приближении, тоже подходит, хотя с ним всё несколько сложнее: тут реальная биомеханика сильно отходит от абстрактного механизма.


Рис. 10. Локтевой сустав (распил). (По Синельникову.)

Второй тип шарнира — это шаровой шарнир, где звенья вращаются вокруг общей точки. Опять же, можно считать одно звено неподвижной опорой, тогда второе звено может вращаться вокруг некоторой точки этого шарнира. Точки, а не оси.


Рис. 11. Шаровой шарнир: с двумя свободными звеньями и с одним закреплённым звеном — опорой.

Какие суставы в нашем теле подходят под эту модель? Плечевой и тазобедренный.


Рис. 12. Плечевой сустав (распил). (По Синельникову.)


Рис. 13. Тазобедренный сустав (распил). (По Синельникову.)

Поймём теперь, как считать степени свободы у таких механизмов.

Шарниры и степени свободы

Возьмём цилиндрический шарнир с одним закреплённым звеном. На рисунке закреплённое звено изображено просто как неподвижная опора. Свободное звено может двигаться только одним образом: поворачиваться вокруг оси шарнира, оставаясь при этом в одной плоскости. Его незакреплённый конец двигается при этом только по одной линии — дуге окружности с центром на оси шарнира.

В нашем теле аналогом будет, например, локтевой сустав. Нам нужно только зафиксировать плечевую кость. Для этого просто обопрёмся локтем о стол и постараемся не двигать плечом.

Как мы можем задать положение свободного звена? Сколько координат нам для этого надо? Поскольку мы можем только повернуть его вокруг оси, то нам достаточно задать угол поворота. Это и будет единственная координата, которая нам нужна. Для локтевого сустава — то же самое.


Рис. 14. Цилиндрический шарнир и его возможные движения.

Получается, что как цилиндрический шарнир, так и локтевой сустав имеют одну степень свободы.

Теперь рассмотрим шаровой шарнир и его аналог — плечевой сустав. Снова закрепим одно звено шарнира. Чтобы закрепить звено плечевого сустава, нам достаточно постараться не двигать лопаткой.

Шаровой шарнир допускает уже гораздо больше различных движений. Свободное звено может качаться в нём во все стороны. К тому же оно может поворачиваться вокруг собственной продольной оси, оставаясь на месте. Всё то же самое умеет делать и наше плечо. Незакреплённый конец свободного звена двигается при этом уже не по линии, а по участку сферы с центром в шарнире.

Для того, чтобы однозначно задать положение звена, нам потребуются три угла. Два из них задают наклон звена в пространстве, а третий — поворот звена вокруг собственной оси. Получаем три координаты и три степени свободы для шарового шарнира и плечевого сустава.


Рис. 15. Шаровой шарнир и его возможные движения.

Одна, три... А где же две?

Вы, может быть, заметили, что, разговаривая о шарнирах, мы перескочили от одной степени свободы сразу к трём. А есть ли шарниры, имеющие две степени свободы? Простого шарнира нет, но есть механизм, состоящий фактически уже из трёх звеньев: карданная передача. Её свободный конец может так же, как в шаровом шарнире, наклоняться в любую сторону, но не может провернуться вокруг собственной продольной оси. На этом как раз и основано использование карданов в автомобилях с задним приводом.


Рис. 16. Карданная передача.

В человеческом теле карданных передач, конечно, нет, но суставы с двумя степенями свободы встречаются. Это, например, лучезапястный сустав. Зафиксировав предплечье, мы можем наклонять кисть как угодно, но не можем повернуть её вокруг продольной оси. Если вы, проверяя это, всё-таки смогли повернуть кисть, это значит, что вы недостаточно зафиксировали предплечье и использовали его подвижность. Крепко возьмите себя чуть выше запястья другой рукой, не давайте поворачиваться предплечью, и вы убедитесь, что кисть не поворачивается. У этого сустава только две степени свободы.

Человеческие суставы вообще устроены гораздо сложнее, чем простые шарниры. Приведём ещё пару примеров суставов, не подходящих под простейшие механические схемы.

Древо жизни

Кажется, что коленный сустав вполне подходит под схему цилиндрического шарнира. Если мы зафиксируем бедро — например, сядем на стол, свесив ноги, — то колено будет качаться, рисуя дугу, так же, как свободное звено шарнира. Но, на самом деле, при согнутом колене голень может ещё и немного поворачиваться вокруг своей продольной оси, добавляя коленному суставу ещё одну степень свободы. Когда мы сгибаем колено, ослабляется натяжение некоторых связок коленного сустава, крепление голени становится более свободным и появляется возможность поворота, которой нет, когда колено выпрямлено. Получается, что коленный сустав имеет одну степень свободы при почти выпрямленном колене и две при согнутом.


Рис. 17. Возможные движения в коленном суставе.

Локтевой сустав мы тоже приводили как пример цилиндрического шарнира. И он действительно подходит под эту схему, если мы будем рассматривать крепление только локтевой кости. Но, говоря о лучезапястном суставе, мы заметили, что предплечье может поворачиваться, обеспечивая движение пронации/супинации кисти.


Рис. 18. Возможные движения в локтевом суставе и предплечье.

Это возможно из-за сложного устройства локтевого сустава, состоящего фактически из трёх отдельных суставов. В нём сходятся три кости — плечевая, локтевая и лучевая — и каждая пара костей соединяется своим суставом.

Локтевая кость крепится к плечевой суставом с одной степенью свободы, образуя цилиндрический шарнир. А вот лучевая соединяется с плечевой уже шаровидным суставом — аналогом шарового шарнира, с тремя степенями свободы. Подвижность лучевой кости относительно локтевой ограничивается двумя суставами, которыми они скреплены: в локте и в запястье.

Всё это сложное устройство приводит к тому, что лучевая кость может неким своеобразным образом проворачиваться вокруг локтевой. Кисть крепится именно к лучевой кости лучезапястным суставом и поэтому может воспользоваться её подвижностью. При этом локтевая кость остается неподвижной. Т. е. к одной степени свободы, которую имеет локтевой сустав, на протяжении предплечья добавляется ещё одна.

Заметим, что, хотя голень тоже состоит из двух костей — большеберцовой и малоберцовой, — но в ней отсутствует механизм, подобный предплечью, и обе эти кости двигаются как одна.

Дальнейший разбор и классификация суставов человеческого тела требуют отдельной статьи. А здесь мы попробуем усложнить наши механизмы. Мы будем добавлять ещё звенья, чтобы перейти от отдельных суставов к целым конечностям.

Звенья одной цепи

Соединим теперь три звена. Первое будет, как обычно, неподвижной опорой. Второе присоединим к нему цилиндрическим шарниром. А к свободному концу второго звена прикрепим ещё одно звено. Тоже цилиндрическим шарниром. Наш механизм для простоты сделаем плоским: пусть оси обоих шарниров будут параллельны, тогда все звенья будут двигаться в одной плоскости.


Рис. 19. Плоский механизм из трёх звеньев и двух цилиндрических шарниров.

Сколько координат нам понадобится, чтобы задать положение всего механизма? Первое звено неподвижно, его положение известно. Второе звено мы можем повернуть в шарнире на какой-то угол. Не любой: угол поворота как-то ограничен неподвижным звеном, но нам это не важно. Одного этого угла нам достаточно, чтобы задать положение второго звена. Зададим этот угол.

При этом дальний конец первого звена окажется во вполне определённой точке. Мы можем рассчитать положение этой точки по заданному углу и длине этого звена. (Длину звена мы не считаем координатой, поскольку она постоянна.) В этой точке находится шарнир, которым крепится третье звено. Значит, чтобы задать положение и этого звена, нам достаточно задать угол его поворота (например, относительно второго звена) — точно так же, как для второго звена.

Получается, что задав две координаты — два угла — мы задаём положение всего нашего механизма. Значит, у него две степени свободы.


Рис. 20. Плоский механизм из трёх звеньев с угловыми координатами.

Заметьте, что соединив звенья двумя шарнирами, каждый из которых даёт одну степень свободы, мы получили две степени свободы. Т. е. степени свободы просто складываются.

В теле подобный механизм можно найти в пальцах руки: это два последовательных фаланговых сустава.


Рис. 21. Палец руки как пример предыдущей схемы.

Теперь в нашем механизме из трёх звеньев заменим первый шарнир на шаровой, а второй так и оставим цилиндрическим.


Рис. 22. Механизм из трёх звеньев, шарового и цилиндрического шарниров.

Аналогией в нашем теле будет соединение предплечья и плеча с туловищем. При этом мы не учитываем способность предплечья поворачивать кисть.


Рис. 23. Плечо и предплечье как пример предыдущей схемы.

Если вы помните, шаровой шарнир имеет три степени свободы. Прибавляя к ним одну степень свободы второго шарнира, цилиндрического, получаем четыре степени свободы. И действительно: положение второго звена (первое — неподвижное) мы задаём тремя углами. При этом положение второго шарнира и направление его оси вычисляется. Поэтому для задания положения третьего звена нам нужен ещё только один угол его поворота в цилиндрическом шарнире. Значит, чтобы задать точное положение всего механизма, нужны четыре угловые координаты. И наш механизм действительно имеет четыре степени свободы.

Моя ладонь превратилась в кулак

Напоследок подсчитаем степени свободы у всей руки. Пальцы не будем учитывать: сожмём их в кулак. Туловище будем считать неподвижным звеном. Тогда имеем цепь из четырёх звеньев и трёх шарниров: туловище — плечевой сустав — плечо — локтевой сустав — предплечье — лучезапястный сустав — кисть.


Рис. 24. Степени свободы руки без учёта движений пальцев.

Начнём складывать степени свободы. Плечевой сустав — три степени свободы. Локтевой сустав — одна степень свободы. Предплечье — это не обычное звено, а целый механизм, добавляющий ещё одну степень свободы (пронация/супинация кисти). И две степени свободы даёт лучезапястный сустав. Складывая, получаем семь. Таким образом, рука человека (без учёта пальцев) имеет семь степеней свободы.

Ещё раз объясним, что означает это число. Мы выбрали некую механическую модель руки: неподвижно закреплённое туловище, кисть как единое звено (кулак). В этой модели нам нужно ровно семь координат, чтобы однозначно задать положение всей руки. Обопритесь ладонью о стол, зафиксировав таким образом положение кисти. При неподвижном туловище и ладони ваша рука всё равно может двигаться: ваш локоть описывает в воздухе дугу. Если мы хотим задать положение всей руки, определив и положение локтя, нам нужны эти семь координат и больше ничего.

Выше мы писали, что если тело двигается по какой-либо поверхности, то у него две степени свободы. Три — если мы хотим учитывать также и поворот тела в этой плоскости. Будем двигать ладонью по столу. Вот тело, которое двигается по поверхности. Значит, у ладони три степени свободы. А где же семь?

Но мы также писали, что подсчёт степеней свободы зависит от модели, от задачи. Если нам важно только положение ладони на столе и неважно, что там дальше к ней крепится и что с ним происходит, то степени свободы три. Если же мы хотим знать и положение всей руки, то семь.

Действительность ещё сложнее. Если мы, сидя за столом, потянулись за хлебом, то мы включаем дополнительно сложную механику пальцев, а также, возможно, наклон и поворот туловища. Если мы будем рассматривать такую, более сложную, модель, то и количество степеней свободы у всей системы будет гораздо больше. Как наш мозг управляется с расчётом такой кучи координат — опять-таки тема, требующая отдельной статьи.

Рисунки автора.

Комментарии 2

*
*
*

26.10.2017 Винокурова Ольга

Евгений, спасибо! Очень полезная статья. Все так четко!

28.10.2017 Алла Бородулина

Евгений, после прочтения твоей статьи, я "в двух словах" сумела рассказать своим "гимнасткам" об уровнях движения . Хорошо бы "Восстановление движения" также объяснить.